Intervalos de confianza de una proporción de una población (P)
En numerosas ocasiones se realizan mediciones de cuestiones que no son numéricas, como por ejemplo:
- si un artículo es defectuoso o no defectuoso
- la especie de una planta
- la presencia o ausencia de una plaga
- si la persona es zurda o no
- si a una persona le gustan las matemáticas o no
En todas estas situaciones ahora será de interés estimar la proporción o porcentaje de éxitos en la población (P) puesto que no es posible calcular un promedio cómo en las situaciones donde las mediciones son numéricas.
Se define cómo éxito el resultado de interés, por ejemplo, puede ser que interese estimar la proporción de artículos defectuosos en un proceso o la proporción de zurdos en una población; en éstos casos diremos que hay un éxito si un artículo es defectuoso o si una persona es zurda.
Ejemplo. Se quiere estimar la proporción de alumnos zurdos en ITSON (P). Solo si entrevistamos a todos los alumnos de ITSON sabríamos esto. Pero es tardado y posiblemente caro debido a que tenemos que visitar a cerca de 18 mil alumnos.
Lo que podemos hacer para saber aproximdamente que porcentaje o proporción de los alumnos ITSON son zurdos con una confianza de \(100(1-\alpha)%\) de confianza cuando tenemos información de una muestra obtenida al azar de manera simple aleatoria o sistemática aleatoria es:
\[\hat{p}- z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \leq P\leq \hat{p}+ z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]o de forma breve
\[\hat{p}\pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]Donde:
\(\hat{p}=\frac{x}{n}\) con:
n= tamaño de muestra x = número de éxitos en la muestra.
Continuando con el ejemplo, suponga que se selecciona una muestra de 200 alumnos y que 18 de ellos son zurdos. Además se establece una confianza de 95%. Para saber por donde se ubicará la proporción de todos los estudiantes zurdos (\(P\)), lo único que se tiene que hacer es:
1.Calcular el porcentaje de exitos en la muestra (\(\hat{p}\))
\[\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{18}{200}=0.09\]Es decir, el 9% de la muestra de alumnos son zurdos.
2.Según la confianza el valor de \(Z_{\alpha /2}\) será cómo sigue:
- 99% ——— 2.58
- 95% ——— 1.96
- 90% ——— 1.65
En este caso cómo la confianza se establece en 95% el valor de z será 1.96.
3.Luego sustituimos en la fórmula del intervalo:
\[\hat{p}\pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\] \[0.09 - 1.96 \sqrt{\frac{0.09(1-0.09)}{200}} = 0.0503\] \[0.09 + 1.96 \sqrt{\frac{0.09(1-0.09)}{200}} = 0.1297\]4.Finalmente la interpretación será:
Al 95% de confianza, la proporción de TODOS los alumnos de ITSON que son zurdos se estima que está entre 5.03% y 12.97%.
Note que la conclusión fue hecha considerando a la población.
Ejercicios.
1.En una muestra de 100 pacientes sometidos a un cierto tratamiento se obtienen 80 curaciones.
*¿Qué es el éxito en este problema?
*Calcular e interpretar el intervalo de confianza al 95% de la proporción de pacientes en la población que mejora (P).
2.En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por una empresa, se encontraron 21 defectuosas. Estime con un intervalo del 99% de confianza a la proporción de pilas defectuosas que genera la empresa.
3.Para estimar la proporción de personas en una ciudad que lee el periodico se seleccionó una muestra de 500 personas, de las cuales 220 leen el periodico habitualmente. Estimar con una confianza del 99% la proporción de personas en la ciudad que lee el periodico.
Asignación para entregar como máximo mañana jueves 30 de abril.
Aquí: https://forms.gle/ikTDvDWnqBhZnGYa9
Dudas se atienden en el correo mucio.osorio@itson.edu.mx