Intervalos de confianza de la diferencia de dos proporciones poblacionales \((P_{1}-P_{2})\)
Cuando se requiere saber si las proporciones de éxitos de dos poblaciones \((P_{1}~y~ P_{2})\)son iguales o no, por ejemplo, la proporción de artículos defectuosos de la máquina 1 \((P_1)\) y la proporción de artículos defectuosos de la máquina 2 \((P_2)\), se construirá un intervalo de confianza para la diferencia de éstas proporciones como sigue:
\[(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2})- z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_{1}(1-\hat{p}_{1})}{n_1}+\frac{\hat{p}_{2}(1-\hat{p}_{2})}{n_2}} \leq P_{1}-P_{2}\leq (\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2})+ z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_{1}(1-\hat{p}_{1})}{n_1}+\frac{\hat{p}_{2}(1-\hat{p}_{2})}{n_2}}\]o de manera breve
\[(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2})\pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_{1}(1-\hat{p}_{1})}{n_1}+\frac{\hat{p}_{2}(1-\hat{p}_{2})}{n_2}}\]Si el intervalo construido contiene al 0 (es decir que un límite sea negativo y el otro positivo) se concluye que las dos proporciones de éxitos poblacionales son iguales.
Cuando el 0 no este contenido habrá dos maneras de interpretar:
- Si los dos límites son positivos se dice que la proporción de éxitos en la población 1 es mayor que la proporción de éxitos en la población 2.
- Si los dos límites son negativos se dice que la proporción de éxitos en la población 1 es menor que la proporción de éxitos en la población 2.
Ejemplo 1. Se quiere saber si la proporción de mujeres zurdas en ITSON \((P_1)\) difiere o no de la proporción de hombres zurdos en ITSON \((P_2)\).
Para poder responder a ese cuestionamiento deben seleccionarse muestras aleatorias de hombres y mujeres. Suponga que se seleccionaron 200 hombres y 220 mujeres de los cuales 20 hombres y 23 mujeres resultaron ser zurdos.
1.Calcular el porcentaje de exitos en las muestras (\(\hat{p}_1~y~\hat{p}_2\))
Hay un 10.45% de mujeres zurdas en la muestra:
\[\hat{p}_1=\frac{x_1}{n_1}=\frac{23}{220}=0.1045\]y un 10% de hombres zurdos en la muestra:
\[\hat{p}_2=\frac{x_2}{n_2}=\frac{20}{200}=0.10\]2.Según la confianza el valor de \(Z_{\alpha /2}\) será cómo sigue:
- 99% ——— 2.58
- 95% ——— 1.96
- 90% ——— 1.65
En este caso si se establece la confianza en 95% el valor de z será 1.96.
3.Luego sustituimos en la fórmula del intervalo:
\[(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2})\pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_{1}(1-\hat{p}_{1})}{n_1}+\frac{\hat{p}_{2}(1-\hat{p}_{2})}{n_2}}\]Primero, el límite inferior del intervalo:
\[(0.1045 - 0.10)-1.96* \sqrt{\frac{0.1045(1-0.1045)}{220}+\frac{0.10(1-0.10)}{200}} = -0.054\]Ahora el límite superior:
\[(0.1045 - 0.10)+1.96* \sqrt{\frac{0.1045(1-0.1045)}{220}+\frac{0.10(1-0.10)}{200}} = 0.062\]4.Finalmente la interpretación será:
El intervalo va de -0.054 a 0.062 o de -5.4% hasta 6.2%. Note que el 0 (cero) esta contenido en el intervalo, por lo que se puede decir que:
Al 95% de confianza, la proporción de mujeres zurdas y la proporción de hombres zurdos de ITSON es la misma.
Note que la conclusión fue hecha considerando a la población.
Ejemplo 2. La porporción de votantes a favor del candidato A es mayor que la proporción de votantes del candidato B? Use 95% de confianza para responder.
Suponga que en una muestra de 1000 personas, 340 dijeron que votarían por A. En otra muestra de 1000 personas 450 dijeron que votarían por B.
1.Calcular el porcentaje de exitos en las muestras (\(\hat{p}_1~y~\hat{p}_2\))
Si etiquetamos a la primera muestra como 1 (es indiferente cuál es 1 o 2). Hay un 34% de la muestra que votaría por A:
\[\hat{p}_1=\frac{x_1}{n_1}=\frac{340}{1000}=0.340\]y un 45% de la muestra 2 votaría por B:
\[\hat{p}_2=\frac{x_2}{n_2}=\frac{450}{1000}=0.45\]2.Según la confianza el valor de \(Z_{\alpha /2}\) será cómo sigue:
- 99% ——— 2.58
- 95% ——— 1.96
- 90% ——— 1.65
En este caso si se establece la confianza en 95% el valor de z será 1.96.
3.Luego sustituimos en la fórmula del intervalo:
\[(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2})\pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_{1}(1-\hat{p}_{1})}{n_1}+\frac{\hat{p}_{2}(1-\hat{p}_{2})}{n_2}}\]Primero, el límite inferior del intervalo:
\[(0.34 - 0.45)-1.96* \sqrt{\frac{0.34(1-0.34)}{1000}+\frac{0.45(1-0.45)}{1000}} = -0.153\]Ahora el límite superior:
\[(0.34 - 0.45)+1.96* \sqrt{\frac{0.34(1-0.34)}{1000}+\frac{0.45(1-0.45)}{1000}} = -0.067\]4.Finalmente la interpretación será:
El intervalo va de -0.153 a -0.067 o de -15.3% hasta -6.7%. Note que el 0 (cero) NO esta contenido en el intervalo y que los dos límites son negativos, por lo que se puede decir que:
Al 95% de confianza, la proporción que votará por A es menor que la proporción de votantes de B.
¿Qué tan mas pequeña?, pues de 6.7% a 15.3% más pequeña.
Si las etiquetas 1 y 2 se cambiaran, los dos intervalos serían positivos y eso nos llevaría a la misma conclusión, la proporción de votantes a favor de B es mayor (de 6.7% a 15.3%)que la que está a favor de A.
Ejercicios.
1.En una muestra de 100 pacientes sometidos a un cierto tratamiento (A) se obtienen 80 curaciones y en otra muestra de 100 pacientes sometidos a otro tratamiento (B) se obtienen 90 curaciones.
*Calcular e interpretar el intervalo de confianza del 95% de la diferencia de proporciones de pacientes que mejoran (P). Después de contruir el intervalo diga cuál es el mejor tratamiento.
2.En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por una empresa, se encontraron 21 defectuosas. Mientras que de 500 pilas tipo C 10 fueron defectuosos. Estime con un intervalo del 99% de confianza la diferencia de proporciones de pilas defectuosas y diga en cuál tipo hay más proporción de pilas defectuosos.
3.En Ciudad Obregón de 250 personas entrevistadas, 100 leen el periodico habitualmente y en Hermosillo 98 de 240 leen el periodico. Al 90% de confianza en que ciudad la proporción de personas que lee el periodico es mayor?.
Asignación para entregar como máximo mañana jueves 7 de mayo.
Tareas que se reciban 1 día despues contarán 50%
Tareas que se reciban 2 días despues contarán 25%
Despues de dos diás solo contarán el 10%
Aquí:
https://forms.gle/k2Y4o6WDixUwAHXx7
Dudas se atienden en el correo mucio.osorio@itson.edu.mx